Geometrinė Progresija: Apibrėžimas, Savybės ir Taikymas

Geometrinė progresija yra skaičių seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant antruoju, gaunamas padauginus ankstesnįjį iš tam tikro pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu. Šis skaičius negali būti lygus nuliui. Skirtingai nei aritmetinė progresija, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Apibrėžimas ir Formulės

Geometrinė progresija apibrėžiama kaip skaičių seka, kurioje galioja šios sąlygos:

• Vardiklis (q) – tai konstantinė reikšmė, kuri daugina kiekvieną ankstesnį nario vertę.
• Pirmasis narys (a) – dažnai žymimas kaip a₁.

Todėl, jei yra žinomas pirmasis narys a ir vardiklis q, n-tojo nario formulė yra:

a_n = a₁ * q^n-1

Geometrinės Progresijos Ribos

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos ribos gali būti skirtingos:

• Jei 0 < q < 1, seka artėja prie 0.
• Jei q = 1, visi nariai yra lygūs, o riba yra a.
• Jei q > 1, seka artėja prie begalybės.
• Jei 0 > q > -1, seka artėja prie 0 ir turi du poslinkius (teigiamus ir neigiamus narius).
• Jei q = -1, egzistuoja du poslinkiai, kurių vieno riba yra a, o kito -a.
• Jei q < -1, taip pat egzistuoja du poslinkiai, kurių vieno riba yra begalybė, o kito -begalybė.

Nykstamoji Geometrinė Progresija

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už 1, yra vadinama nykstamąja geometrine progresija.

Pavyzdžiai

Čia pateikiami keli geometrinės progresijos pavyzdžiai:

• 1, 2, 4, 8, 16 (vardiklis q = 2)
• 100, 50, 25, 12.5 (vardiklis q = 0.5)
• 10, -10, 10, -10 (vardiklis q = -1)

Geometrinės Progresijos Savybės

Geometrinės progresijos turi keletą charakteringų savybių:

• Bet kuris baigtinės geometrinės progresijos narys, pradedant antruoju, yra geometrinis vidurkis šalia einančių narių.
• Jei sekos nariai yra teigiami, tai jų produktas yra didesnis už bet kurį iš jų, o suma yra didesnė už dvigubą vidurkį.

Geometrinės Progresijos Suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių suma yra apskaičiuojama pagal formulę:

S_n = a₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q), kai q ≠ 1

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma (kai |q| < 1) yra:

S = a₁ / (1 – q)

Istorija

Geometrinės progresijos naudojimas matomas jau senovės Babilono matematikos laikais. Seniausias žinomas geometrinės progresijos įrašas buvo rasta molio lentelėje, kurioje pagrindas buvo 3, o vardiklis 1/2. Euklido darbai taip pat aptaria geometrines progresijas ir jų savybes.

Taikymas Matematikos Srityje

Geometrinės progresijos yra plačiai taikomos matematikos srityje, ypač analizuojant finansinius modelius ir augimo procesus. Jos naudojamos skaičiuojant palūkanas, investicijų augimą ir daugelyje kitų sričių.

Susiję Straipsniai

Daugiau informacijos apie matematikos temas galite rasti čia.