Aibės: Pagrindinės Sąvokos ir Teorijos

Aibė – tai rinkinys tam tikrų objektų, kurie yra sujungti į vieną visumą pagal bendrą požymį. Ši sąvoka yra viena iš esminių matematikos koncepcijų. Elementariojoje matematikoje dažniausiai nagrinėjamos skaičių aibės, tokios kaip natūraliųjų, sveikųjų, racionaliųjų ir realiųjų skaičių aibės.

Aibių teorija, kuri pradėjo formuotis XIX amžiaus pabaigoje, šiandien yra viena iš svarbiausių matematikos dalių, pradedama mokyti jau pradinėse klasėse.

Terminai ir Apibrėžimai

Aibės nariai, dar vadinami elementais, paprastai žymimi didžiosiomis raidėmis (A, B, C ir pan.). Dvi aibės yra laikomos lygiosiomis (A = B), jei jų elementai sutampa.

Aibės, turinčios pasikartojančių elementų, vadinamos multiaibėmis. Aibės dažnai apibūdinamos tiek žodžiais, tiek formaliai:

• A = {1, 2, 3}
• B = {raudona, balta, mėlyna, žalia}

Aibių apibūdinimas nebūtinai turi sutapti, kad aibės būtų laikomos lygiosiomis. Elementų tvarka ar pasikartojimas taip pat neturi reikšmės. Pavyzdžiui, {2, 4}, {4, 2} ir {2, 2, 4, 2} yra identiškos aibės, nes turi tuos pačius elementus.

Aibė, kuri neturi elementų, vadinama tuščia aibe ir žymima ø. Taip pat, aibė gali turėti begalinį elementų skaičių, pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibė.

Poaibiai

Poaibis (AB) – tai situacija, kai kiekvienas aibės A elementas yra ir aibės B elementas. Tuomet sakoma, kad aibė A yra aibės B poaibis ir tai žymima A ⊆ B. Jei aibė A nelygi B (bet kai kurie aibės B elementai sutampa su aibės A), tai vadinama griežtu poaibiu ir žymima A ⊂ B.

Pavyzdžiui, visų vyrų aibė bus griežtas visų žmonių aibės poaibis. Natūralu, kad tuščia aibė yra bet kurios kitos aibės poaibis, o kiekviena aibė yra savo pačios poaibis.

Aibių Sąjunga

Aibių sąjunga (A∪B) yra lyginama su sudėtimi – tai rezultatas, kuriame yra visi jungiamųjų aibių elementai. Aibių A ir B sąjunga žymima A ∪ B.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∪ {raudona, balta} = {1, 2, raudona, balta}
• {1, 2, žalia} ∪ {raudona, balta, žalia} = {1, 2, raudona, balta, žalia}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sąjungos savybės:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ A = A
• A ∪ ø = A

Aibių Sankirta

Aibių sankirta (A∩B) yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių tiek A, tiek B aibėje. Sankirta žymima A ∩ B. Jei A ∩ B = ø, tai A ir B yra nesikertančios aibės.

Pavyzdžiai:

• {1, 2} ∩ {raudona, raudona} = ø
• {1, 2, žalia} ∩ {raudona, raudona, žalia} = {žalia}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Pagrindinės sankirtos savybės:

• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ A = A
• A ∩ ø = ø

Aibių Skirtumas

Aibių skirtumas (AB) yra aibė, sudaryta iš elementų, esančių aibėje A, bet nesančių aibėje B. Aibių skirtumas žymimas A B.

Pabaiga

Aibės yra esminės matematikos dalies koncepcija, kuri padeda suprasti sudėtingesnes matematikos struktūras ir operacijas. Aibės sąvokos, tokios kaip poaibiai, sąjunga, sankirta ir skirtumas, yra pagrindiniai elementai, kuriuos būtina įsisavinti norint sėkmingai mokytis matematikos.

Daugiau apie aibes galite sužinoti čia.