Vektoriai: Apžvalga ir Pagrindinės Savybės
Vektorius (lot. vector – vežėjas, nešėjas) yra matematinis dydis, kuris apibūdinamas tiek reikšme, tiek kryptimi erdvėje. Vektoriai vizualizuojami kaip tiesios atkarpos su rodyklėmis, kurios nurodo jų kryptį ir ilgį.
Pavyzdžiai ir Naudojimas
Dažniausiai vektoriai naudojami fizikoje, pavyzdžiui, jėgos atvaizdavimui. Skaitinių grupė, kuri reprezentuoja konkretų objektą, gali būti aprašyta kaip sugrupuotų skaičių rinkinys arba vektorius. Tai leidžia efektyviau ir kompaktiškiau užrašyti bei manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis.
Geometriniu požiūriu, kiekvieną vektorių galima įsivaizduoti kaip liniją, jungiančią erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės yra vektoriaus nariai. Pavyzdžiui, plokštumoje vektorius gali būti išreikštas naudojant vienetinius vektorius i ir j:
v = xi + yj, kur x ir y yra vektoriaus v koordinatės.
Vektorių Tipai
- Lygieji vektoriai: Vektoriai, kurių ilgis yra vienodas, o kryptis sutampa.
- Kolinearūs vektoriai: Du nenuliniai vektoriai, esantys vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse.
- Komplanarieji vektoriai: Vektoriai, kurie yra lygiagretūs vienai plokštumai arba yra vienoje plokštumoje.
- Nulinis vektorius: Vektorius, kurio pradžia ir pabaiga sutampa.
Daugyba ir Sudėtis
Vektoriaus daugyba su skaliaru apima kiekvieno vektoriaus elemento daugybą su skaliaru, o rezultatas yra vektorius.
Vektorių suma: Du vektoriai sudedami, prie kiekvieno vektoriaus nario pridedant atitinkamus kitų vektorių narius.
Vektorių sudėties savybės apima:
- Komutatyvumas: v + w = w + v
- Associatyvumas: (v + w) + u = v + (w + u)
Skaliarinė Vektorių Sandauga
Skaliarinė vektorių sandauga yra susijusi su vektoriaus ilgiu ir projekcijomis. Norint atlikti skaliarinę daugybą, abiejų vektorių elementų skaičius turi būti identiškas. Rezultatas yra skaliaras, o ne vektorius.
Pavyzdžiui, jei turime vektorius a = (3, 5, 6) ir b = (4, 0, 1), skaliarinė sandauga būtų:
a · b = 3*4 + 5*0 + 6*1 = 12 + 0 + 6 = 18.
Vektoriaus Ilgis
Vektoriaus ilgis, arba norma, žymima ||v|| ir gali būti apskaičiuojamas naudojant Euklido normą. Tai atitinka Pitagoro teoremą, kadangi vektoriai statmeni.
Pavyzdžiui, vektoriaus a = (3, -2, 4) ilgis bus:
||a|| = √(3² + (-2)² + 4²) = √(9 + 4 + 16) = √29.
Kampas Tarp Vektorių
Kampas tarp dviejų vektorių gali būti išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą. Jei vektoriai yra vienakrypčiai, kampas yra nulinis, o jei priešpriešiniai, kampas yra 180 laipsnių.
Vektorinė Sandauga
Vektorinė sandauga sukuria naują vektorių, kuris yra statmenas abiem pradiniais vektoriams. Vektorinė sandauga egzistuoja tik erdvėse, didesnėse nei dvi dimensijos.
Du vektoriai a ir b gali būti sudauginti kaip:
a × b = ||a|| ||b|| sin(φ) n,
kur φ yra kampas tarp a ir b, o n – vienetinis vektorius, statmenas ir a, ir b.
Mišri Vektorių Sandauga
Mišri vektorių sandauga apibrėžia tūrio skaičiavimą naudojant tris vektorius, sudarančius lygiagretainį. Pavyzdžiui, tūris gali būti skaičiuojamas kaip lygiagretainio gretasienio tūris, išreiškiamas mišria sandauga.
Susijęs turinys
Jei norite sužinoti daugiau apie matematikos temas, rekomenduojame perskaityti straipsnį apie aukštąjį išsilavinimą.